Pendugaan Parameter

DAFTAR ISI

                                                                    

HALAMAN JUDUL............................................................................................... i

KATA PENGANTAR............................................................................................ ii

DAFTAR ISI............................................................................................................ iii

BAB I

PENDAHULUAN................................................................................................... 1

A.    Latar Belakang............................................................................................. 1

B.     Rumusan Masalah....................................................................................... 1

BAB II

PEMBAHASAN...................................................................................................... 2

A.    Pendugaan Parameter................................................................................. 2

B.     Aplikasi Pendugaan Parameter.................................................................. 3

BAB III

PENUTUP................................................................................................................ 9

A.    Kesimpulan................................................................................................... 9

B.     Saran............................................................................................................. 9

DAFTAR PUSTAKA............................................................................................. 10

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Seperti yang kita tahu, semua aspek seumur hidup meminta data, jadi tidak tutup menunggu akan keberadaan besar data (jumlah data yang sangat banyak). Hal tersebut tentu saja meminta suatu metode yang tepat agar dapat mengolah data dengan akurat dan efisien.

Maka dari itu makalah ini tidak hanya sekedar untuk memenuhi tugas mata kuliah statistik saja, namun juga menerangkan sebuah metode untuk mengukur sebuah data yaitu metode Pendugaan Parameter.

B.     Rumusan Masalah

1.      Apa yang di maksud dengan pendugaan parameter?

2.      Apa aplikasi pendugaan parameter?

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pendugaan Parameter

Untuk mengetahui ukuran populasi atau disebut dengan parameter biasanya seorang peneliti mengukurnya tidak secara langsung melainkan dengan cara mengambil sebagian kecil dari populasi (disebut dengan sampel) kemudian megukurnya. Selanjutnya hasil pengukuran  sampel digunakan untuk “menduga” ukuran sebenarnya (ukuran populasi atau parameternya).

Dari sinilah berasal istilah “pendugaan paramter” secara umum parameter yang diduga ialah nilai tengah (mean),proposi, atau ragam masing masing.

Karena nilai parameter tidak bisa ditentukan kepastiaannya 100% maka di kenal dengan istilah  Selang Kepercayaan (Convidence Interval) yaitu ukuran yang menunjukan nilai parameter yang asli mungkin berada. Selang kepercayaan 95% artinya kita percaya bahwa 95% sampel yang kita ambil akan memuat nilai parameter aslinya.

·         Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.

·         Melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui.

Contoh : Seorang calon dalam suatu pemilihan ingin menduga proporsi sebenarnya dari pemilih yang akan memilihnya, dengan cara mengambil 100 orang secara acak untuk ditanyai pendapatnya. Proporsi pemilih yang menyukai calon tersebut dapat digunakan sebagai dugaan bagi proporsi populasi yang sebenarnya.

B.     Aplikasi Pendugaan Parameter

1.      Metode Pendugaan Klasik

Statistik  yang digunakan untuk memperoleh sebuah dugaan bagi parameter populasi  disebut penduga atau fungsi keputusan. Sedangkan  adalah sebuah nilai dugaan berdasarkan sampel acak berukuran n.

Misal :                                              Fungsi keputusan S² (yang merupakan fungsi dari sampel acak yang bersangkutan) adalah suatu penduga bagi , sedangkan nilai dugaan s² merupakan “realisasinya”.

Sifat-sifat yang seharusnya dimiliki oleh penduga :

a.       Takbias

Statistik  dikatakan penduga takbias bagi parameter  bila .

b.      Efisien

Diantara semua kemungkinan penduga takbias bagi parameter , yang ragamnya terkecil adalah penduga paling efisien bagi .

Dugaan parameter dapat dibagi menjadi :

a.       Dugaan Titik

Menentukan suatu  bilangan  tunggal berdasarkan sampel sebagai penduga dari parameter.

b.      Dugaan Selang

Menentukan suatu interval nilai yang dengan peluang tertentu, (1-a), diharapkan memuat parameter q yang diduga.

Jika q parameter populasi, dugaan selang dapat dinyatakan dengan : (untuk 0 < a < 1)

                                                                    

Selang  , yg dihitung dari sampel yg terpilih, disebut selang kepercayaan / interval keyakinan / confidence interval 100(1-a)% untuk parameter tersebut. nilai pecahan 1-a disebut koefisien kepercayaan / derajat kepercayaan / tingkat keyakinan (konfidensi).

2.      Metode Pendugaan Mean

Penduga titik bagi mean populasi m adalah statistik . Bila  adalah mean sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam s² diketahui  maka selang kepercayaan 100(1-a)% bagi m  adalah

dengan  adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .

CATATAN :  Jika s² tidak diketahui, tetapi sampel berukuran besar (n≥30), s² dapat diganti dengan s².

Adapun penduga selang kepercayaan 100(1-a)% bagi m untuk sampel kecil (n<30); bila s² tidak diketahui adalah

dengan  adalah nilai t yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva seluas .

Ukuran Sampel Bagi Pendugaan m

Bila digunakan untuk menduga m, kita yakin 100(1-a)% bahwa galatnya tidak akan melebihi  . Seringkali kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil agar galat dalam menduga m tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini berarti kita harus menentukan n sehingga = e.

Jadi, bila digunakan untuk menduga m, kita yakin 100(1-a)% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu nilai tertentu e, bila ukuran sampelnya diambil sebesar 

.

Bila hasilnya bernilai pecahan, harus dibulatkan ke bilangan bulat berikutnya yang lebih besar. Jika ragam populasi tidak diketahui,  suatu sampel awal berukuran n³30 dapat diambil untuk memberikan dugaan bagi s.

3.      Pendugaan Selisih Dua Mean

Bila kita mempunyai dua populasi saling bebas dengan mean m₁ dan m₂ dan ragam s₁² dan s₂²  maka penduga titik bagi selisih antara m₁ dan m₂ diberikan oleh statistik . Bila  dan  masing-masing adalah mean sampel acak bebas berukuran n₁ dan n₂ yang diambil dari populasi dengan ragam s₁² dan s₂²  diketahui, maka selang kepercayaan 100(1-a)% bagi m₁-m₂ adalah

dengan  adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .

CATATAN :  Jika s₁² dan s₂² tidak diketahui, tetapi n₁ dan n₂ lebih besar dari 30, maka s₁² dan s₂² dapat diganti dengan s₁² dan s₂².

Adapun penduga selang kepercayaan100(1-a)% bagi m₁-m₂ untuk sampel kecil; bila s₁²=s₂² tapi nilainya tidak diketahui adalah

dengan derajat bebas untuk distribusi t = v =n₁ + n₂ – 2  dan

                                                                 .

Selang kepercayaan 100(1-a)% bagi m₁-m₂ untuk sampel kecil; bila s₁²¹s₂² tapi nilainya tidak diketahui

dengan derajat bebas untuk distribusi t adalah

                                                               .

Bila kita mempunyai dua populasi yang tidak saling bebas (berpasangan), selang kepercayaan 100(1-a)% bagi m_D=m₁-m₂ untuk pengamatan berpasangan tersebut adalah

4.      Pendugaan Proporsi

            Penduga titik bagi proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh statistik , sedangkan X menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan. Dengan demikian, proporsi sampel  akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi parameter p tersebut.

            Bila  adalah proporsi keberhasilan dalam suatu sampel acak berukuran n, dan , maka selang Kepercayaan 100(1-a)% bagi p untuk sampel besar adalah

dengan  adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .

Ukuran Sampel Bagi Pendugaan p

Bila  digunakan untuk menduga p, maka kita percaya 100(1-a)% bahwa galatnya tidak lebih besar dari  . Seringkali kita ingin mengetahui berapa besar sebuah sampel harus diambil agar galat dalam menduga p tidak melebihi suatu nilai tertentu e. Ini berarti kita harus menentukan n sehingga = e.

Jadi, apabila  digunakan untuk menduga p, maka kita percaya 100(1-a)% bahwa galatnya tidak akan melebihi suatu besaran tertentu e bila ukuran sampelnya diambil sebesar

Bila informasi awal tentang dugaan nilai bagi p tidak dipunyai, dapat digunakan  rumus

.

5.       Pendugaan Selisih Dua Proporsi

Bila  dan  masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam sampel acak yang berukuran n₁ dan n₂ serta  dan , maka penduga titik bagi selisih antara kedua proporsi populasi p₁ – p₂ adalah . Sedangkan selang kepercayaan 100 (1-a)% bagi p₁ - p₂ untuk sampel besar adalah

dengan  adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanan di bawah kurva normal standard adalah .

6.      Pendugaan Varians

Bila  adalah penduga titik bagi varians sampel acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi normal dengan varians s², maka selang kepercayaan 100(1-a)% bagi s² adalah

dengan  adalah nilai  dengan derajad bebas v = n-1 yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar .

7.        Pendugaan Rasio Dua Varians

Bila  dan  masing-masing adalah varians sampel acak bebas berukuran n₁ dan n₂ yang diambil dari populasi normal dengan varians  dan , maka penduga titik bagi rasio  adalah , dan selang kepercayaan 100(1-a)% bagi s₁²/s₂² adalah

dengan  adalah nilai f untuk derajad bebas v₁ dan v₂ yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar .

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan. Parameter yaitu populasi yang tidak di ketahui.

Pendugaan parameter berarti melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nulai parameter suatu distribusi tidak diketahui.

Pendugaan parameter diwujudkan dalam pembentukan selang kepercayaan, karena hampir tidak pernah ditemukan nilai statistik tepat sama dengan nilai parameter.

Melakukan estimasi terhadap nilai dugaan/taksiran suatu parameter tertentu, karena pada umumnya nilai parameter suatu distribusi tidak diketahui.

B.     Saran

Hanya sampai sini makalah yang dapat kami buat, kami juga belum memahami maksud dari isi malakah tersebut sekiranya Ibu pengampu dapat menerangkan kepada kami, kami sangat berterimakasih atas kemurahan Ibu untuk membagi ilmu kepada kami.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.ilmustatistik.com/2008/11/16/pendugaan-parameter/

https://www.academia.edu/30490291/Pendugaan_Parameter

https://www.coursehero.com/file/12440573/PENDUGAAN-PARAMETER/