Materi dasar Logika Informatika

Materi Dasar Logika Informatika [Tabel kebenaran]

Ditulis pada 3 November 2016

LOGIKA INFORMATIKA

	Logika dan Pernyataan
	1.  Logika
	2.  Pernyataan (Proposisi)
	3.  Penghubung Kalimat Dan Tabel Kebenaran
	4.  Ingkaran (Negasi) Suatu Pernyataan,Konjungsi,Disjungsi dan implikasi. 5.  Invers,konvers,dan kontraposisi

1. LOGIKA

Logika Informatika
Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang artinya kata, ucapan atau alasan. Jadi, logika adalah ilmu untuk berfikir dan menalar dengan benar
Istilah-istilah logika
Ada beberapa istilah yang akan digunakan dalam logika informatika yaitu :

• Premis : yaitu sebuah pernyataan
• Argumen : usaha untuk mencari kebenaran dari premis berupa kesimpulan
• Konklusi : Kesimpulan

2.   PERNYATAAN (PROPOSISI)

Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.

Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya.

Contoh :

1. Yogyakarta adalahkotapelajar (Benar).
2. 2+2=4                                     (Benar).

Tidak semua kalimat berupa proposisi

Contoh :

1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.

#penalarandeduktif

penalaran yang didasarkanpremis-premis yang diandaikanbenaruntukmenarikkesimpulan.

contoh:

1. semuamahasiswabarumengikutiospek.
2. wulandariadalahmahasiswabaru.

kesimpulannya : wulandarimengikutospek.
#penalaraninduktif

penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifatfaktualuntukmenarikkesimpulan yang bersifatumum.

contoh:

premis 1          : ayam  1   berkembangbiakdengantelur

premis 2          : ayam  2   berkembangbiakdengantelur

premis 3          : ayam  3   berkembangbiakdengantelur

…

…

…

premis 50        : ayam 50  berkembangbiakdengantelur

kesimpulannya : semuaayamberkembangbiakdengantelur
Pernyataan:

• Pernyataanadalahkalimat yang mempunyainilaikebenaran (salah/benar)
• Pernyataan yang tidakmengandung kata hubungkalimat,disebutpernyataan primer/tunggal/atom. Sedangkanpernyataan yang mengandungsatuataulebih kata hubungkalimat,disebutpernyataanmajemuk.

preposisidilambangkandenganhurufkecilp,q,r,s,…
contoh:
p : 13 adalahbilanganganjil
q : soekarnoadalahalumni UGM
r :  ayamadalahbinatangunggas
s : 2+2=4

3.PENGHUBUNG KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN

  

KATA HUBUNG KALIMAT

Simbol	Arti	Bentuk
¬/~	Tidak/Not/Negasi	Tidak………….
^	Dan/And/Konjungsi	……..dan……..
v	Atau/Or/Disjungsi	………atau…….
=>	Implikasi	Jika…….maka…….
< =>	Bi-Implikasi	……..bila dan hanya bila……..

TABEL KEBENARAN

p	q	~p	~q	p^q	pvq	p=>q	p<=>q
B	B	S	S	B	B	S	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B	B	B
S	S	B	B	S	S	S	B

4. INGKARAN (NEGASI) SUATU PERNYATAAN,KONJUNGSI,DISJUNGSI DAN IMPLIKASI

1. NEGASI (INGKARAN)

Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.

Contoh:
a. p: semua siswa punya almamater
~ p : beberapa siswa tidak punya almamater

1. q  : uki anak yang pandai

~ q : uki bukan anak yang pandai

1. KONJUNGSI

Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “^”

Contoh:

1. p: Fahmi makan nasi

q:Fahmi minum kopi

Maka p^q : Fahmi makan nasi dan minum kopi
b.   p: Aan anak yang pemalas
q: Aan anak yang ngantukan
Maka p^q   : Aan anak yang pemalas dan ngantukan

Pada konjungsi p^q akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya (atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.

1. DISJUNGSI

Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “v”.

Kalimat disjungsi dapat mempunyai 2 arti yaitu :

1. INKLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar atau keduanya true”

Contoh  :

p : 7 adalah bilangan prima

q : 7 adalah bilangan ganjil

p v q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil

Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus bilangan ganjil.

1. EKSLUSIF OR

Yaitu jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.

Contoh :

p : Saya akan melihat pertandingan bola di TV.

q : Saya akan melihat pertandingan bola di lapangan.

p v q : Saya akan melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.

Hanya salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika “Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja tetapi tidak keduanya.

1. IMPLIKASI

Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “ =>”.

Notasi pÞq dapat dibaca :

1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p

contoh
1.
p : Pak Ali adalah seorang haji.

q : Pak Ali adalah seorang muslim.

p => q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang  muslim.
2.                    p :Harihujan.
q :Adimembawapayung.
Benar atau salahkah pernyataan berikut?
a. Haribenar-benarhujan dan Adibenar-benarmembawapayung.
b. Haribenar-benarhujantetapiAditidakmembawapayung.
c. HaritidakhujantetapiAdimembawapayung.
d. HaritidakhujandanAditidakmembawapayung.

1.1       KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

Perhatikan pernytaan di bawah ini! ~^ v =><=>

“Jika suatu bender adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”

Bentuk umum implikasi di atas adalah “p => q” dengan

p : Bendera RI

q : Bendera yang ada warna merahnya.

Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :

1. KONVERS, yaitu q => p

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.

2. INVERS, yaitu ~p =>~q

Sehingga implikasi diatas menjadi :

“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna merahnya”.

3. KONTRAPOSISI, yaitu ~q =>~p

Sehingga implikasi di atas menjadi :

“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI”.

Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan invers dan konversnya.

contoh lainnya:

p: lumba-lumba adalah binatang mamalia

q: lumba-lumba adalah binatang menyusui

Implikasi:

jika lumba-lumba adalah binatang mamalia maka lumba-lumba adalah

binatang yang menyusui.
konvers:

jika lumba-lumba adalah binatang menyusui maka lumba-lumba adalah
binatang mamalia.

invers  :
jika lumba-lumba bukan binatang mamalia maka lumba-lumba
bukan binatang menyusui

kontraposisi:
jika lumba-lumba bukan binatang menusui maka lumba-lumba
bukan binatang mamalia.

Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut

p	q	~p	~q	implikasi p=>q	konvers q => p	invers ~p =>~q	kontraposisi ~q =>~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Perangkai logika
Berikut adalah peringkai logika informatika
Konjungsi (And) dengan symbol “ ^ ”
Tabel Kebenaran :

Konklusi/Kesimpulan akan bernilai benar/ true  (T) jika kedua kondisi (A dan B) bernilai benar (T) .
——————————————————————————–
Disjungsi (Or) dengan symbol “ v “
Tabel Kebenaran :

Konklusi/Kesimpulan akan bernilai salah/ false  (F) jika kedua kondisi (A dan B) bernilai salah (F) .
————————————————————————————–
Negasi (Not)
Tabel Kebenaran :

• not A adalah kebalikan dari premis A, dan
• not not A adalah kebalikan dari premis not A

(Maaf kawan, simbol not gak kebaca di blog, liat di gambar aja ya simbolnya ;;))
——————————————————————————-
Implikasi (If ..then) dengan symbol (->)
Tabel Kebenaran :

Kondisi akan bernilai salah (F) jika pernyataan pertama (A) bernilai (T) dan pernyataan kedua (B) bernilai salah (F)
———————————————————————————————
Biimplikasi/ Ekuivalensi (If..then..if) dengan symbol “ <-> “
Tabel Kebenaran :

Jika premis pertama dan kedua ( A dan B ) bernilai sama maka A <->B akan bernilai benar (T)
——————————————————————————————-
NAND/ Not And dengan symbol “ | “
Tabel Kebenaran :

Fungsi NAND adalah kebalikan dari fungsi AND “ ^ “
————————————————————————————————-
NOR/ Not Or
Tabel Kebenaran :

Fungsi NOR adalah kebalikan dari fungsi OR “ v ”
———————————————————————————————-
XOR/ Exclusive Or
Tabel Kebenaran :

TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI, EKUIVALENSI LOGIKA

Ditulis pada 3 November 2016

1. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A Tono pergi kuliah

B Tini pergi kuliah

C Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

• A → B (Premis)
• C → B (premis)

(3) (A V C) → B              (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1. (p ʌ ~q) p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q) p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.

2. [(p q) ʌ p] p q

Pembahasan:

p	q	(p q)	(p q) ʌ p	[(p q) ʌ p] p q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

•                   (2)                   (3)                     (4)      (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk         [(p q) ʌ p] p q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

1. (p ʌ q) q

Penyelesaian:

(p ʌ q) q ~(p ʌ q) v q

~p v ~q v q

~p v T

T ………….(Tautologi)[3]

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q) q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q) q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q) q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q) q merupakan Tautologi.

1. q (p v q)

penyelesaian:

q (p v q)   ~q v (p v q)

~q v (q v p)

T v p

T …………(Tautologi)

1. KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4]

Contoh dari Kontradiksi:

1. (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2. P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

1. Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1. Hukum komutatif:

p ʌ q q ʌ p

p v q q v p

2. Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r p v (q v r)

3. Hukum distributif:

p ʌ (q v r) (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r) (p v q) ʌ (p v r)

4. Hukum identitas:

p ʌ T p

p v F p

5. Hukum ikatan (dominasi):

P v T T

P v F F

6. Hukum negasi:

P v ~p T

P ʌ ~p F

7. Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p) p

8. Hukum idempoten:

P ʌ p p

p v p p

9. Hukum de morgan:

~( p ʌ q) ~p v ~q

~(p v q) ~p ʌ ~q

10. Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q) p

P ʌ (p v q) p

11. Hukum T dan F:

~T F

~F T

12. Hukum implikasi ke and/or:

P q ~p v q[5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1. Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q) (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

~p ʌ (q v ~q)

~p ʌ T

~p ………..(terbukti)

2. Tunjukkan bahwa: ~(p v q) (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

•          (2)            (3)          (4)            (5)                (6)                       (7)

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q) (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q) (~p ʌ ~q).